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고장계산

고장 계산의 기초

고장 계산의 기초

고장계산의 목적

1) 계통의 구성
2) 차단기의 차단 용량선정
3) 전력기기의 열적, 기계적 강도 선정
4) 변류기의 포화특성
5) 보호계전기의 정정 및 보호협조
6) 유효접지조건 검토 (1선지락고장)
7) 통신선 유도장애 검토 (지락전류)
8) 고조파 공진 검토 (단락용량이 증가할수록 공진차수 증가)

% 임피던스

전력계통에는 여러가지의 전압이 있으며, 다른 전압사이에는 변압기가 존재한다. % 임피던스법을 사용하는 목적은 서로 다른 전압에 존재하는 회로요소, 즉 저항(R), 리액턴스(X), 임피던스(Z)를 변압기 없는 계통, 즉 1:1 변압기로 연결하여 회로해석을 편리하게 하기 위함이다.

1) % 임피던스

회로의 임피던스(변압기, 선로 등)에 정격주파수의 정격전압, 정격전류가 흐를 때, 발생하는 전압강하와 정격전압과의 비를 %로 나타낸 것이다. %Z 과 정격전류(In)만 알만 손쉽게 3상 단락전류를 계산할 수가 있다.

\[\%Z=\frac{I_nZ}{E}\times 100[\%]\] \[I_s=\frac{E}{Z}\to I_s=\frac{100}{\%Z}\times I_n\]

%Z값은 단락 고장시에 임피던스로 정격운전 상태보다 얼마나 임피던스가 저감되는지를 보여준다.

예를 들어, 계통의 %Z가 10%라면 정격운전 상태의 임피던스 100%에서 10%로 임피던스가 줄어든다는 의미이다. 10배 임피던스가 감소했다는 것은 고장전류는 정격전류의 10배가 발생된다는 것을 의미한다.

2) %Z법을 사용시 편리한 점

(1) 변압기의 1차, 2차측에서 본 %Z는 동일하므로, 1:1 변압기처럼 취급되어 변압기의 존재를 무시하고 해석할 수 있어서 계산이 쉽고 간편해 진다.
(2) 단위가 없어, 단위 환산할 이유도 없다.
(3) 기기마다 적용되는 %Z의 표준값은 어느 범위 내에 있어 기억하기 쉽고 데이터 취득이 용이하다.

% 임피던스

권수비(a)=N1:N2로 가정하면,

1차측에서 본 Z1의 %Z

\[\%Z_1=\frac{I_1Z_1}{V_1}\times 100\]

Z2는 1차측 Z1이 2차로 환산한 임피던스이며, 오옴법에서 다음과 같이 환산해야 한다 오옴법 적용시 기준전압의 값으로 모두 아래와 같은 방법으로 환산해야 하는 번거로움이있다

\[Z_2=\frac{Z_1}{a^2}=Z_1\times(\frac{V_2}{V_1})^2\]

가 된다.

1차측에서 본 Z2의 %Z

\[\%Z_2=\frac{I_2Z_2}{V_2}\times 100=\frac{I_1Z_1}{V_1}\]
\[a=\frac{V_1}{V_2}=\frac{N_1}{N_2}=\frac{I_2}{I_1}=\sqrt{\frac{Z_1}{Z_2}}\] \[=\sqrt{{X_1}{X_2}}=\sqrt{{R_1}{R_2}}\]\[I_2=aI_1,V_2=\frac{V_1}{a},Z_2=\frac{Z_1}{a^2}\]

고장계산 전제조건

1) 고장 계산시 부하전류는 무시한다.
2) 고장시 계통전압은 저하로 계산에 어려움, 고장직전 전압을 가정
3) 고장 중에도 전동기는 정격전압으로 운전하고 있음을 가정, 기여전류 계산
4) X/R비를 모르는 경우 가장 큰 값을 적용
5) 기기의 외함 및 판넬 등의 임피던스는 무시

식의 변환

(1) 상전압(E) -> 선간전압(V)

\[\%Z=\frac{I_nZ}{\frac{V}{\sqrt3}}\times 100=\frac{\sqrt3I_nZ}{V}\times 100\]\[[E=\frac{V}{\sqrt3}]\] \[\%Z=\frac{\sqrt3I_nZ}{V}\times\frac{V}{V}\times 100=\frac{PZ}{V^2}\times 100\]\[(P=\sqrt3 VI_n : 3상용량)\]

(2) P[kVA], V[kVA]단위로 할 경우

\[\%Z=\frac{PZ}{10V^2}\]

%Z∝P →기준용량(Pb)을 정하고, 기준용량의 값으로 환산

\[\%Z=\frac{P}{10}\times(\frac{Z}{V^2})\to(\frac{Z}{V^2})\]

%Z은 변압기 1,2차측에 대해 항상 일정

% 임피던스
\[\frac{Z_1}{V_1^2}=\frac{Z_2}{V_2^2}=\frac{10}{100^2}=\frac{0.1}{10^2}\]

3) 기준용량(Pb)으로 임피던스로 환산

→ 자기용량 기준 %Z(Old)를 기준용량의 %Z(New)로 환산

\[\%Z_{new}=\%Z_{old}\times\frac{P_b}{P_{b.self}}\]

4) 등가 임피던스와 단락용량(Ps)의 관계

\[P_s=\sqrt3VI_s\cdot\cdot\cdot I_s=\frac{100}{\%Z}\times I_b\]\[P_s=\sqrt3VI_b\times\frac{100}{\%Z}=P_b\times\frac{100}{\%Z}\]\[\%Z=\frac{P_b}{P_s}\times 100\]

고장시간에 따른 분류

고장시간에 따른 분류

1) First Cycle Short Circuit Current

① 단락발생 1/2 cycle의 단락전류가 가장 큰 시점이다.
② 회전기의 리액턴스: Xd”×(1.0~1.2)적용
③ 전력퓨즈, 저압차단기, 보호용 CT의 포화여부 검토, 계전기의 순시정정, 케이블의 기계적 강도 검토에 활용

※ 초기 비대칭 계수(MF: Multiplying Factor)

\[MF=\sqrt{1+(2e)^{\frac{-2\pi}{\frac{X}{R}}}}\]

계산된 대칭 3상단락 전류가 25kA라면, X/R=25인 경우, 1/2 cycle 단락전류의 실효치 전류?

1/2cycle 실효치 전류 = 25 × 1.6 =40[kVA]

[표] X/R에 따른 1/2주기 비대칭계수

역률 [%]단락회로 X/R비대칭 계수[실효값]비대칭 계수[피크값]
333.3221.6302.702
424.9791.5992.663
813.4601.4862.520
~~~~
850.61981.000041.439

2) Interrupting Short Circuit Current

① 차단기 접점이 개시되는 시점(5~8 cycle)의 단락전류 크기로 초기에 비해 감소
② 회전기의 리액턴스:Xd”×(1.5~3)적용
③ 고압이상의 차단기 차단용량 선정에 활용

3) Steady-state Short Circuit Current

① 회전기의 임피던스가 안정되어 전체적으로 계통 임피던스의 변화가 안정된 시점(30 cycle ~)에서 단락전류의 크기
② 회전기의 과도 리액턴스가 사라진 시점으로 동기리액턴스가 적용됨
③ 보호계전기의 한시정정에 활용

고장전류 공급원

계통에 고장이 발생하면 한전계통에 연결된 발전기에 의해서 고장전류를 공급하게 됨은 물론 전동기에서도 고장전류를 공급하게 된다. 전동기가 연결되어 있는 계통에 고장이 발생하면 고장 후 수 cycle까지는 전동기와 이것에 직결된 부하의 회전에너지(관성)에 의해 전동기는 발전기로 작용하고 자신의 과도 리액턴스에 반비례한 고장전류를 사고점으로 공급한다. 이를 전동기 기여전류라하며 유도전동기는 잔류자속만이 영향을 미치므로 가장 빨리 소멸되지만 동기전동기는 타여자방식이므로 감쇠가 비교적 느리다. 전력용 콘덴서도 큰 과도 고장전류를 공급하게 되나 공급 지속시간이 아주 짧고 주파수가 계통의 주파수보다 아주 높기 때문에 일반적으로 고장전류 공급원에 포함하지 않는다.

1) 발전기

– 대용량 발전기

– 자가용 발전기

– 분산전원 발전기: 열병합 발전, 풍력, 태양광 발전 등

2) 기여 전류원

– 각종 전동기: 유도 전동기, 동기 전동기

– 전력용 콘덴서

전력용 콘덴서

임피던스

1) 전원 임피던스

한전에서는 발전소 및 변전소에 대하여 정기적으로 계산하여 제시하고 있으며 한전에 협조를 요청하여 구한다.

22.9kV로 수전받는 수용가의 경우에는 한전 154kV 변전소의 변압기의 용량 45/60MVA, %Z: 14.5%(45MVA 기준), 이것으로부터 계산하거나 개략적으로 500MVA (X/R비: 10)정도로 하면 실용적으로 문제가 없다.

한전에서 제시되는 임피던스는 100MVA를 기준으로 하여 제시되고 있으며, 전원측 임피던스를 기준용량으로 환산하는 경우는 다음과 같다.

 단락용량:

\[P_s=\sqrt{3}VI_s\cdot\cdot\cdot I_s=\frac{100}{\% Z}\times I_b\]


 단락용량과 기준용량과의 관계

\[P_s=\sqrt{3}VI_b\times\frac{100}{\% Z}=P_b\times\frac{100}{\% Z}\]

 기준용량 환산 전원측 % 임피던스

\[\%Z=\frac{P_b}{P_s}\times 100\]

 기준용량 100MVA로 환산한 전원측 % 임피던스

\[\%Z=\frac{P_b}{P_s}\times100=\frac{100}{500}\times 100=20[\%]\]

 R/X비 10을 적용

\[\%R=\%Z\times \cos(\tan^{-1}X/R)\]\[=20\times \cos(\tan^{-1}10)=1.99[\%]\] \[\] \[\%X=\%Z\times \sin(\tan^{-1}X/R)\]\[=20\times \sin(\tan^{-1}10)=19.90[\%]\] \[\] \[\%Z=1.99+j19.90\]

 R/X비 적용 방법

2) 케이블 임피던스

전기설비 기술계산 핸드북 등의 자료집 Data를 참조하거나 제작업체의 Data를 이용하여 계산한다. 22.9kV, 60mm2 CV케이블의 선로정수가 0.389+j0.175[Ω/㎞]로 주어지고, 선로의 길이가 1.5km라 하면, 기준용량을 1,000kVA로 했을 경우의 %임피던스 값은 다음과 같다.

 기준 임피던스 산출
기준 용량: 1,000kVA, 기준전압: 22.9kV에서 기준 임피던스

\[Z_b=\frac{V^2[kV]}{P[MVA]}=\frac{22.9^2}{1}=524.41[\Omega]\]

 케이블의 실제 임피던스 환산(1)……..기준 임피던스 활용(추천)

\[\%Z=\frac{(0.389+j0.175)\times 1.5}{524.41}\times 100\]\[=0.111+j0.05[\%]\]

 케이블의 실제 임피던스 환산(2)

\[\%R=\frac{P[kVA]\times R[\Omega]}{10V^2[kV]}\]\[=\frac{1,000\times 0.389\times 1.5}{10\times 22.9^2}=0.111[\%]\]
\[\%X=\frac{P[kVA]\times X[\Omega]}{10V^2[kV]}\]\[=\frac{1,000\times 0.175\times 1.5}{10\times 22.9^2}=0.05[\%]\]

3) 변압기 임피던스

일반적으로 임피던스 값은 OA/FA일 경우 OA기준으로 명판에 기록되며, 변압기 특성의 데이터를 필히 OA기준 또는 FA기준이다 라는 것을 확인해야 한다.

4) 회전기 임피던스

고장전류 공급원이 회전기인 경우 회전기 리액턴스는 일정하지 않고 시간에 따라 변화되기 때문에 고장전류도 이에 따라 변화된다.

회전기 임피던스

(1) 차과도 리액턴스 (Xd”: Subtransient reactance)

고장이 일어난 첫번째 사이클(First Cycle)동안의 전류를 결정하는 리액턴스

(2) 과도 리액턴스 (Xd’: Transient reactance)

고장이 일어난 수 사이클 후의 고장전류를 결정하는 리액턴스

(3) 동기 리액턴스 (Xd: Synchronous reactance)

안정된 상태에 도달한 후에 흐르는 전류를 결정하는 리액턴스

[표.] IEEE/ANSI Std.

구분1st cycleFaultinnterruptingcycle
X/RXd”MFX/RXd”MF
50HP 미만9171.67917
50~150HP9171.29173.0
250HP 초과9171.09171.5
1,000HP 초과30171.030171.5
동기 전동기3020130201.5

※ 유도전동기의 개략적인 임피던스

유도 전동기의 기동전류가 주어진 경우에 활용하는 것으로, 기동전류는 정격전류의 배수이고, 전동기의 구속전류(Lock Rotor Current)와 같으므로 다음과 같이 리액턴스를 고려한다.

\[X_d^{”}[pu]=\frac{1}{I_{LRC}}\]

저압 440V, 100HP 전동기의 리액턴스를 구하여라. 단, 전동기의 최대 기동전류는 정격전류의 6배로 가정한다.

\[X”_d=\frac{1}{6}=0.17[pu]\]

○ Interrupting cycle Fault 계산시:

\[X’_d=0.167 \times MF(3.0)\]

※ 회전기 임피던스의 기준용량 환산시 주의사항

\[\%X_{d,new}=\%X_{d,old}\times\frac{P_{base}}{P_{self}}\times(\frac{MV}{SV})^2\] \[MV:회전기 정격전압\]\[SV:회전기 연결모선 정격전압\]

3.3kV, 250HP, 역률 80%인 고압유도전동기가 3.45kV 모선에 접속되어 있을 경우 기준용량 10MVA로 임피던스를 변환하여라.
단, 차과도 리액턴스 17%, 수용율(Demand Factor): 95%
○ 전동기의 용량

\[P[kVA]=\frac{HP\times 0.746[kW]}{\cos\theta \times DF}\]\[=\frac{250\times 0.746}{0.8\times 0.95}=245[kVA]\]

 역률 80%에서는 HP출력[kW]을 용량[kVA]로 바로 적용해도 무관
 여기에 Demand Factor가 주어진 경우 고려
○ 전동기 리액턴스 기준용량으로 환산

\[\%X”_{d,new}=17\times\frac{10\times 10^3}{245}\times(\frac{3.3}{3.45})^2\]\[=635[\%]\]

 Interrupting cycle Fault 계산시 이 값에 1.5배 적용

고압차단기 선정시 비대칭 계수 적용

차단기의 정격차단전류를 선정할 때 3상 대칭분에 어느 정도의 여유율을 줄 것인지에 대한 것이다. 이것은 회전기의 리액턴스가 변화하고 있는 상태를 고려한 차단기의 정격차단전류의 선정하는 것이다. 아래의 그림과 같이 차단기의 종류 및 차단기의 접점이 개리시점, R/X비에 따라서 그 값을 적용한다. 일반적으로 어떤 차단기를 선정하더라도 계산된 3상 단락전류에 1.2배를 적용하면 충분함을 알 수 있다.

최종적으로 부하의 증가 등에 여유율 등을 감안하여 1.5~2.0배로 충분히 여유를 가지고 차단기의 정격을 선정하는 것이 바람직하다.

\[I_{asym}=I{sym}\times MF\]
고압차단기 선정시 비대칭 계수 적용

[참조 자료] 전력계통 단락사고에 대한 과도해석

1. 단락회로 모델링

단락회로 모델링

2. 과도해석

전원전압 v(t)=Vm sin(ωt+φ-θ)[A] 여기서, φ는 전압의 위상이다.
1) 정상분 전류

\[i_s(t)=Im\sin(\omega t+\phi -\theta) [A]\] \[[\theta : 전압과 전류의 위상차]\]


2) 과도분 전류  직류성분 전류

\[i_t(t)=-I_m\sin(\phi-\theta)\cdot e^{-(\frac{R}{L})^t}[A]\] \[\tau=\frac{L}{R}:시정수\]


3) 합성전류

\[i(t)=\]\[I_m\sin(\omega t+\phi-\theta)-I_m\sin(\phi-\theta)\cdot e^{-(\frac{R}{L})^t}[A]\]

3. X/R비의 영향

X/R위상차저항[Ω]리액턴스[Ω]인덕턴스[mH]
2587.75°0.12.56.63
578.73°0.10.51.33

1) X/R비가 크면 클수록 1/2 사이클 피크전류가 증가한다.

2) X/R비가 크면 클수록 시정수가 증가하여 피크전류의 감쇄가 느리다.

3) 발전소 및 변전소 인근에서 고장이 발생된 경우 X/R비가 매우 증가한다.

 회전기의 시간에 따른 고장전류 감소로 “영점추이현상”이 발생 가능성

4) 그러므로 X/R비가 클수록 고장전류를 차단하기가 어려워진다.

X/R비의 영향

5) 그러므로 X/R비가 크면 클수록 직류성분 전류의 크기가 증가하여 보호기기의 정격을 선정할 때 보다 큰 비대칭계수(MF: Multiplying Factor)를 적용한다. 다음 식은 1/2주기 적용하는 비대칭계수 계산식이다.

\[MF=\sqrt{1+(2e)^{\frac{-2\pi}{\frac{X}{R}}}}\]

6) 그러므로 X/R비가 크면 클수록 사고 직후 1/2cycle내 피크전류가 크게 상승하므로 전력설비의 기계적인 강도를 보다 증가시켜야 한다. IEC 규격에서는 그 피크치를 60Hz에서 실효치의 2.6배(50Hz는 2.5배)로 규정한다.

4. 영점추이현상(Zero Missing Phenomenon)

1) 대용량의 발·변전소 근처에 고장이 일어났을 때 주로 발생된다.

2) 이 경우는 X/R비가 매우 증가하므로 매우 큰 비대칭적인 전류가 흐르며, 회전기의 영향으로 고장발생이후 시간이 경과함에 따라 전류가 감소하는 특징이 중첩되어 몇 주기 동안 전류영점을 형성하는 못하는 현상이다.

3) 교류차단기는 전류영점에서 차단이 이뤄지므로 차단시간이 보다 증가되는 문제가 발생된다.

영점추이현상(Zero Missing Phenomenon)

5. 3상 단락시 각상의 전류파형 분석

[해석 조건] 전원전압의 위상 0°인 순간 단락발생

X/R위상차저항[Ω]리액턴스[Ω]인덕턴스[mH]
2587.75°0.12.56.63

1) 정상분 전류

정상분 전류

2) 과도분 전류  직류성분 전류

과도분 전류 직류성분 전류

3) 합성전류

합성전류

6. 코일(L)의 물리적인 특성

1) 전류의 변화를 억제하는 특성

2) 메카니즘

➀ 순방향 전류에 의해 순방향 자속 발생  코일의 단면을 통과하는 자속의 변화 (그림의 순전류와 순자속)

➁ 코일의 단면을 통과하는 자속을 이전 상태로 유지하기 위해 순방향 자속과 반대방향의 자속발생 (그림의 역자속)

➂ 역자속을 만드는 전류 및 유기기전력이 동시에 존재 (그림의 역전류, 역기전력)

코일(L)의 물리적인 특성

3) 전기회로에 순수한 L만 존재한다면, 전류의 흐름을 바꿀수가 없다.

4) L에 전류를 흘리기 위해서는 저항(R)이 필요하다. 그러므로 코일에 전류의 충전은 R을 통해서 이뤄진다.

5) 회로에 L이 존재하는 경우에는 반드시 전류는 불연속적인 변화를 갖지 못하며, 그 이전상태에서 R을 통한 변화를 시도한다.

6) 직류성분의 전류는 L이 갖는 고유특성으로 전류의 변화를 억제하는 방향으로 스스로 만들어내는 성분이라고 할 수 있다.

7. 3상 단락시 동기발전기의 변화

1) 정상 운전시

동기발전기는 계자의 회전속도와 전기자 회전자계는 동일한 속도인 동기속도로 회전한다. 그러므로 정상운전시에는 전기자의 회전자계에 의해서 유기기기전력이 발생되지 않아 계자전류의 크기에 영향을 미치지 않는다.

3상 단락시 동기발전기의 변화

[정상시] [단락 사고시]

2) 단락사고 발생시

단락사고 발생시

전력계통에서 단락사고가 발생되면 전기자 전류의 크기 및 위상에 매우 급격하게 변한다. 즉 전기자의 회전자계가 동기속도를 유지한다고 해도 계자코일에 유기기전력을 발생시켜서 계자전류가 조금 상승하게 된다.

그러므로 전기자 코일에 유기기전력을 조금 상승시킨다. 이때 발생된 계자전류는 코일의 시정수에 따라 서서히 감소하여 사라진다.

그러므로 단락고장이 발생되면 동기발전기는 큰 전류가 흐르며, 시간이 지날수록 서서히 감소된다.

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