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전기기초이론

과도현상 해석 예제1

[건77-4]그림의 R-L 직렬회로에서 전압인가시 과도현상에 대해 구하라
(1) 전류식 (2) 시정수 (3) 전압식(EL, ER)

[발89-2] R-L직렬회로에서 t=0[sec]에서 스위치를 닫았을 때, t=t1[sec]에서 회로에 흐르는 전류를 구하시오. (단, 직류전압 E [V], 저항 R [Ω], 인덕턴스 L[H])

KVL 방정식

\[ R i(t)+L\frac{ di(t)}{dt }=E \]

전류에 대한 미분방정식으로 정리

\[ L \frac{ di(t)}{dt }+ R i(t)=E \]

미분방정식의 해

1) 과도해

\[ L \frac{ di(t)} {dt }+R i(t)=0 \]\[\to \frac{ di(t)}{dt }+\frac{ R}{L } i(t)=0\cdot\cdot\cdot(1)식 \]

미분방정식의 일반해

\[i_t (t) =A e ^{st} 를 (1)식에 일반해 대입 \]
\[ \frac{ d} {dt } (A e^{st} )+\frac{ R}{L } (A e ^{st} )=0\]\[ \to A \times s \times e^{st}+ A\frac{ R} {L } e^{st}\]\[=A e^{st} (s + \frac{ R}{L }) =0 \]
\[e^{st} \ne 0 이므로 ( s+ \frac{ R} {L} ) =0 ∴ s=-\frac {R} {L}\]

2) 정상해

\[ i_s (t) = \frac{ E}{ R} \]\[( t \to ∞ 되면, \] \[코일은 단락되어 전류는 저항에 의하여 제한) \]

전류방정식

\[ i(t)=i_s (t) + i_t (t) = \frac{ E} {R } +A e ^{- \frac{ R} {L }t } \]
\[ \to 초기조건 : i(0)=0[A] \]

조건에서 주어지지 않았지만 0으로 봐도 무관하다.

\[ i(0)=\frac {E} over {R} +Ae ^{- \frac{R}{L} 0}=0 \]\[A=-\frac{E}{R}\]
\[ ∴ i(t)= \frac{ E} {R } – \frac{ E}{R } e ^{- \frac{ R}{L }t } = \frac{ E}{ R}(1-e^{- \frac{ R}{L }t} ) [A] \]

전압 방정식

\[ E_L (t)=L \frac{ d i(t)}{ dt}\] \[=L \times \frac{ E}{R } \times \frac{ R} { L} e ^ {- \frac{ R} { L }t } = Ee ^{- \frac{ R}{L }t} [V] \]
\[ E_R (t) =i(t) \times R =\frac{ E}{ R}(1-e^{- \frac{ R}{L }t} ) \times R \] \[=E(1-e^{- \frac{ R} {L }t} ) \]

시정수: t=0인 시점에서 전류의 기울기

\[ \frac{d i(t)} {dt} |_{t=0} =\frac{ E} { R} \times \frac{ R}{ L} \times e^ {- \frac{ R} { L}0}= \frac{ E}{L } \]
\[ \frac{ E}{L }= \frac{ \frac{ E}{ R} }{\tau } \to ∴ \tau = \frac{ L}{R } [sec]\]

… 충전시 63.2%에 도달하는 시간

… 방전시에는 36.8%에 도달하는 시간

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