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전기기초이론

과도현상 해석 예제2

[건80-4]다음그림을 보고 시간응답i(t)를 구하여라. 단 초기조건은 Vc(0)=V0

1.KVL방정식

\[ R i(t) +v (t) =E \]

2. 전압에 대한 미분방정식으로 정리

\[ RC\frac{dv(t)} {dt} +v(t)=E … 충전 \]

3. 미분방정식의 해

1) 과도해

\[ RC \frac{dv(t)} {dt} +v(t)=0 \to \frac{dv(t)}{dt} + \frac{1}{RC} v(t)=0 \] \[… (1)식 \]

미분 방정식의 일반해

\[v_t (t) =A e^{st}\]

를 (1)식에 대입

\[ \frac{ d (Ae^{st} )} { dt} + \frac{ 1}{RC } (Ae^{st} ) = 0\] \[ \to A \times s \times e^{st} + \frac{ A}{RC } \times e^{st} =0 \]
\[ A e^{st} ( s + \frac{ 1}{RC }) =0 , e^{st} \ne 0 이므로 \] \[( s+ \frac{ 1}{ RC}) =0 \]
\[ s=-\frac{ 1}{RC } \]

2) 정상해

\[ v_s (t) = E \]

( t → ∞ 되면, 커패시터는 개방되어 모든 전압이 커패시터에 분압된다)

4. 전압 방정식

\[ v(t) =v_s (t) + v_t (t ) =E +A e^{- \frac{ 1}{RC }t } \]\[ \to 초기조건 v(0) =V_0 \]
\[ v(0) =E+A e^{-\frac{ 1} {RC }0 } =V_0\] \[ \to A =V_0 -E \]
\[ ∴ v(t) =E +(V_0 -E ) e^{- \frac{ 1} {RC }t } [V] \]

5. 전류 방정식

\[i(t)=C \frac{dv(t)} {dt} =\frac{(E-V _{0} )} {R} e ^{- \frac{1}{RC} t} [A] \]

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