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전기기초이론

교류의 표현

[발96-1]정현파의 실효치와 평균치의 의미를 설명하고, 최대치와 비율을 수식으로 설명하시오

정현파

시간의 변화에 따라서 주기적으로 나타나는 사인파 또는 코사인파
교류 정현파 전압, 전류의 표시

\[v(t) =V_m \sin \omega t , i(t) =I_m \sin \omega t \]

최대값

순시값 중에서 가장 큰 값 (Vm, Im)

순시값(Instantaneous Value)

교류전압과 전류는 시간에 따라서 수시로 그 크기와 부호가 바뀌기 때문에 시간의 함수로 표시하는 데 이를 순시전압 및 수시전류라 한다
임의의 어떤 순간의 값

\[ e=E_m \sin\omega t\]\[i=I_m\sin\omega t\]

평균값(Average Value)

주기파에서 1주기 동안의 산술적인 평균값을 나타낸다
전현파 또는 정(+),부(-)값이 존재하는 경우에는 산술적인 평균은 서로 상쇄되어 0이 되므로, 평균값의 정의는 다음과 같다.

\[I_{av} =\frac { 1} { T} \int _{ 0} ^{ T} { | i(t) | } dt =0.637 I_m\]
\[E_{a} =\frac { 1} { \pi} \int _{ 0} ^{ \pi} { E_m\sin\omega t} dt\]\[ =\frac{E_m}{\pi}[-\cos\omega t]_0^{\pi}\]\[=\frac{E_m}{\pi}[1-(-1)]=\frac{2}{\pi}E_m\]
교류의 표현

실효값
(Effective value, RMS: Root Mean Square)

실효값은 직류와 등가할수 있는 양(동일시 취급할수 있는 양)을 교류에서 표현하고자 할 때 사용하며, 실용상 가장 많이 사용되는 값이다.

\[I_{r ms} = \sqrt {\frac { 1} {T } \int _{ 0} ^{T } {i(t)^2 dt } } =0.707 I_m\]
\[ E_{rms}=\sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^2d\omega t }\] \[=\sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}(E_m\sin\omega t)^2d\omega t } \]\[ =\sqrt{\frac{E_m^2}{4\pi}\int_{0}^{2\pi} (1-\cos 2\omega t)d\omega t} \]
\[ =\sqrt{\frac{E_m^2}{4\pi}[\omega t-\frac{1}{2}\sin 2\omega t]_0^{2\pi}}\]\[ =\sqrt{\frac{E_m^2}{2}}=\frac{E_m}{\sqrt{2}} \]
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