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수력학의 기본정리

수력학의 기본정리

수력발전에 적용되는 이론 중 연속의 원리, 베르누리의 정리, 토리첼리의 정리에 대해 설명하시오.

동수력학에서 베르누이 정리(Bernouli's theorem)를 설명하시오.

연속의 정리

물은 비압축성이므로 도중에 물의 출입이 없다면, 단위시간에 관내를 흐르는 물의 양은 어느 단면에서나 일정하다.

연속의 정리
\[A_1v_1=A_2v_2=Q(일정)\]\[A:단면적[m^2],v:유속[m/s]\]

베르누이의 정리

베르누이 정리는 유체역학의 기본법칙으로 완전유체(점성이 없는 이상적인 유체)가 한 유선을 따라서 운동할 때, 유체입자가 가지는 에너지의 총합은 항상 일정하다.

즉, 물이 어느 기준면에서 h[m]의 높이에 있고, 압력 p[kg/m²]를 가지고, 속도 v[m/s]로 유동하고 있을 때, A와 B에서 물이 가진 총체적인 에너지는 다음과 같다.

“위치에너지 + 압력에너지 + 속도에너지 = 일정”

베르누이의 정리
\[\omega Qh_1+Qp_1+\frac{\omega Qv^2_1}{2g}\] \[=\omega Qh_2+Qp_2+\frac{\omega Qv_2^2}{2g}=\omega QH[kg\cdot m/s]\]

일반식 :

\[\omega Qh_1+Qp_1+\frac{\omega Qv_1^2}{2g}=\omega QH\]

…양변을 ωQ로 나누면

\[h+\frac{p}{\omega}+\frac{v^2}{2g}+(h_l)=H\cdot\cdot\cdot전수두\]
\[여기서, \omega[kg/m^3]물의 단위체적당 중량, \]\[Q[m^3/s]유량, g[m/s^3]중력가속도 \]

1) h →위치수두[m]
물의 위치에너지를 수두로 나타낸 값
2) p/ω→압력수두[m]
물의 압력에너지를 수두로 나타낸 값
3) v²/2g →속도수두[m]
물의 운동에너지를 수두로 나타낸 값
4) hl →손실수두[m]

\[1)압력수두\]\[=\frac{P}{\omega}=\frac{0.5\times 10^4[kgf/m^2]}{10^3[kgf/m^3]}=5[m]\] \[2)속도수두\]\[=\frac{V^2}{2g}=\frac{2^2}{2\times 9.8}=0.2[m]\] \[3)위치수도=1.0[m]\]\[4)전수두=5+0.2+1.0=6.2[m]\]
\[1기압(1atm)=1,000\times 10.33[kgf/m^2]\]\[=10^4[kgf/m^2]=1.0[bar]=100[kPa]\] \[\to\ 1기압에\ 상당하는\ 수두는\ 10.33[m]\]

토리첼리의 정리

아래 그림과 같은 수조의 하부 측벽의 오리피스로 유출되는 속도를 베르누이의 정리로 구한다.

\[h_1+\frac{p_1}{\omega}+\frac{V^2_1}{2g}=h_2+\frac{p_2}{\omega}+\frac{v^2_2}{2g}\]\[\cdot\cdot\cdot 베르누이 정리\] \[h_1-h_2=\frac{v^2_2}{2g}\cdot\cdot\cdot h=h_1-h_2,v_1=0,\]\[p_1=p_2=p_a는 대기압(p_a)\] \[v_2=\sqrt{2gh}[m/s]\]
토리첼리의 정리

토리첼리의 정리

\[v_2=\sqrt{2gh}[m/s] \to 실제는\ 물의\ 점성,\]\[ 마찰손실이\ 있으므로\ v^2=c_v\sqrt{2gh}\]\[유속계수(C_v): 0.95-0.99로 수심(h)및 \]\[오리피스의 지름이 클수록 커진다.\]

이론수력 증명

\[1[kgf]=9.8[N]\cdot\cdot\cdot 1kg중량\] \[1[N\cdot m]=1[J]\]\[1[J/s]=1[W]\]\[물의 중량w=1,000[kgf/m^3]\]
\[P=\omega QH=1,000QH[kgf\cdot m/s]\]\[\to 9.8\times 10^3QH([N\cdot m/s]=[J/s]=[W])\] \[P=9.8QH[kW]\cdot\cdot\cdot이론수력\]

실제 수력발전기의 출력

\[P=9.8QH\eta_t\eta_g[kW]\]\[\cdot\cdot\cdot\eta_t\eta_g(수차 및 발전기 효율):70-85\%\]
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