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전력계통

전력조류 계산 방법

전력조류 계산 방법

Gauss-Seidel법은 반복계산시 수렴특성에서 Newton Rapshon법에 비해 좋지 않은 관계로 전력조류 계산시에 잘 이용되지 않고 있으며, 상대적으로 수렴특성이 우수한 Newton Rapshon법을 적용한다. Newton Rapshon법은 수렴속도가 빨라 계산에 소요되는 시간이 짧아지는 장점이 있지만, 초기조건이 나쁜 경우에는 수렴하지 못하고 발산하는 단점이 있지만, Newton Rapson법을 변형한 알고리즘의 개발을 통해서 이를 보완하여 적용하고 있다.

[표] Gauss-Seidel법과 Newton-Raphson법의 특징

구분Gauss-Seidel 법Newton-Raphson 법
이용 행렬식∙YBUS 행렬을 이용∙자코비안[J] 행렬을 이용
계산시간∙1반복법 계산당 소요시간이 짧지만, 전체계산 소요시간이 증가∙전체계산 소요시간이 작다.
수렴속도∙수렴속도 늦다.
∙200개의 모선 계통의 계산시 200회 반복 계산
∙수렴속도 빠르다.
∙200개의 모선 계통 계산시 4회 반복 계산(8배 빠름)
신뢰성∙반복횟수 많아 오차발생 소지∙초기값 나빠도 수렴특성 우수∙나쁜 초기조건에서는 반복횟수 증가 및 발산우려
응용성∙뉴톤랩슨법에비해 응용력떨어짐∙감도해석∙각종제어 문제의 평가지수
사용실적∙뉴톤랩슨법의 뛰어난 성능으로 인해 보조 프로그램으로 활용∙우리나라와 세계적으로 널리 쓰이고 있는 방식

Gauss-Seidel 반복법

Gauss-Seidel 방법은 선형 연립방정식의 해를 구하는 방법으로 연립방정식을 반복법을 적용하기 위한 형태로 전환한 후에 초기값을 가정하여 지정하고, 차례로 대입하여 그 값을 수정하는 방법으로 수정된 값이 지정된 허용오차 범위에 들어오면 반복을 멈추고 해를 취하는 방법이다.

Gauss-Seidel 반복법

3모선에서의 YBUS 행렬식

\[ \left[\begin{matrix}I_1\\I_2\\I_3\end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix}Y_{11}Y_{12}Y_{13}\\Y_{21}Y_{22}Y_{23}\\Y_{31}Y_{32}Y_{33}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}E_1\\E_2\\E_3\end{matrix}\right]\]

k모선에서의 복소전력 및 전류

\[S_k=P_k+jQ_k=E_kI^*_k\to I_k=\frac{P_k-jQ_k}{E^*_k}\]

2모선에 유입되는 전류

\[I_2=Y_{21}E_1+Y_{22}E_2+Y_{23}E_3\] \[\to E_2=\frac{1}{Y_{22}}\{\frac{P_2-jQ_2}{E^*_2}-(Y_{21}E_1+Y_{23}E_3)\}\cdot\cdot\cdot(1)\]

3모선에 유입되는 전류

\[I_3=Y_{31}E_1+Y_{32}E_2+Y_{33}E_3 \] \[\to E_3=\frac{1}{Y_{33}}\{\frac{P_3-jQ_3}{E^*_3}-(Y_{31}E_1+Y_{32}E_2)\}\cdot\cdot\cdot(2)\]

반복(Iteration)

Step 1) E1=1.06 (고정),

\[E _{2} ^{(0)} =E _{3} ^{(0)} =1.0+j0\]

과 같이 초기값을 지정한다.

Step 2) 초기값을 대입하여 (1)식에 대입하여 새로운 E2 로 수정한다.

\[E_1=1.06+j0(슬랙모선)\]
\[E_2^{(1)} = \frac{1}{Y_{22} } \{\frac{ P_2 -jQ_2}{ E_2 ^{(0)*}} -(Y_21 E_1 +Y_23 E_3 ^{(0)} ) \}\] \[=\frac{1}{Y_{22}}\{\frac{0.2-j0.2}{1.0}-(1.06Y_{21}+1.0Y_23)\}\]

STEP3 초기값을 대입하여 (2)식에 대입하여 새로운 V1으로 수정한다.

\[E_3^{(1)}=\frac{1}{Y_{33}}\{\frac{P_3-jQ_3}{E_3^{(0)*}}-(Y_{31}E_1+Y_{32}E_2^{(1)})\}\] \[=\frac{1}{Y_{33}}\{{\frac{-0.45+j0.15}{1.0}}-(1.06Y_{32}+Y_{32}E_2^{(1)})\}\]

STEP4 지정된 오차범위에 들어올 때까지 반복하여 새로운 V2,V3값을 수정

\[E_2^{(2)}=\frac{1}{Y_{22}}\{\frac{P_2-jQ_2}{E_2^{(1)*}}-(Y_{31}E_1+Y_{23}E_3^{(1)})\}\cdot\cdot\cdot E_2^{(n)}\]
\[E_3^{(2)}=\frac{1}{Y_{33}}\{\frac{P_3-jQ_3}{E_3^{(1)*}}-(Y_{31}E_1+Y_{32}E_2^{(2)})\}\]
\[|\frac{E_k^{n+1}-E_k^n}{E_k^n}|\lt error\cdot\cdot\cdot오차의 지정\]
다음 1차 선형 연립방정식에서 Gauss-Sedel 반복법을 적용하면,
\[9x_1+x_2+x_3=10\to x_1=\frac{1}{9}(10-x_2-x_3)\] \[2x_1+10x_2+3x_3=19\to x_2=\frac{1}{10}(19-2x_1-3x_3)\] \[3x_1+4x_2+11x_3=0\to x_3=\frac{1}{11}(0-3x_1-4x_2\]

반복의 초기치 정의

\[x^{(0)}_2=0,x^{(0)}_3=0,n=0,1,2,3,4,\cdot\cdot\cdot\]
\[x^{(n+1)}_1=\frac{1}{9}\{10-x^{(n)}_2-x^{(n)}_3\}\] \[x^{(n+1)}_2=\frac{1}{10}\{19-2x^{(n+1)}_1-3x^{(n)}_3\}\] \[x^{(n+1)}_3=\frac{1}{11}\{0-3x^{(n+1)}_1-4x^{(n+1)}_2\}\]

Newton-Raphson 법

Newton Rapshop법은 비선형 연립방정식을 편미분(자코비안 행렬)하여 선형화 단계를 거친다음 역행렬을 취하여 반복하여 해를 구하는 방법이다.

Newton-Raphson법

-> 비선형방정식의 해

Newton-Raphson법은 비선형방정식의 해 및 비선형연립방정식의 해를 구하는데 널이 이용되는 방법이다.

이 방법은 임의로 초기 지정한 값(x0)에서 출발하여, 그 점에서 접선을 그리고 그 접선이 x축과 만나는 점으로 이동(x1->x2->x3-> … )시키면서 그 값이 더 이상 변화하지 않을 때를 해로 취하는 방법이다.

Newton-Raphson법

이 방법에서 가장 어려운 점 중의 하나가 초기값을 어떻게 선택하느냐이다. 똑같은 문제라 하더라도 초기값을 잘 지정하면 빨리 해를 찾을 수 있지만, 잘못 지정하면 시간이 오래 걸리거나 해를 찾지 못하는 경우도 있다.

다음은 Newton-Raphson법의 반복식이다.

\[x_1=x_0-\Delta x=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_n)}\] \[[\cdot\cdot\cdot \tan\theta=\frac{f(x_0)}{\Delta x}=f'(x_0)]\] \[x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\]

전력조류 계산에 적용

-> 비선형 연립방정식의 해

Newton-Raphson법은 비선형방정식의 문제를 선형화하여 풀어가는 방법이다. 매 반복과정중에서의 해를 구하기가 용이하고, 대규모 시스템에 적용했을 때 Gauss Seidel법 보다 계산시간이나 수렴성면에서 훨씬 뛰어나기 때문에 전력조류 계산에서 주로 사용되는 방법이다.

Tayor 전개 및 자코비안 행렬

2개의 비선형방정식을 Tayor 전개(다항식의 근사식)하여 정리하면 다음과 같다. 여기서 x(0)1, x(0)2, 는 해를 구하기 위한 초기 지정값이다.

\[f(x)=\sum^∞_{n=0}\frac{f^{(n)(a)}}{n!}(x-a)^n\cdot\cdot\cdot Tayor급수\]
\[f_1(x_1,x_2)=f_1(x^{(0)}_1,x^{(0)}_2)+\Delta x_1\frac{∂f_1}{∂x_1}+\Delta x_2\frac{∂f_1}{∂x_2}\]

첫 번째 방전식의 근사

\[\to f_1(x_1,x_2)-f_1(x^{(0)}_1,x^{(0)}_2)=\Delta x_1\frac{∂f_1}{∂x_1}+\Delta x_2\frac{∂f_1}{∂x_2}\]
\[f_2(x_1,x_2)=f_1(x^{(0)}_1,x^{(0)}_2)+\Delta x_1\frac{∂f_2}{∂x_1}+\Delta x_2\frac{∂f_2}{∂x_2}\]

두 번째 방전식의 근사

\[\to f_2(x_1,x_2)-f_1(x^{(0)}_1,x^{(0)}_2)=\Delta x_1\frac{∂f_2}{∂x_1}+\Delta x_2\frac{∂f_2}{∂x_2}\]
\[\left|\begin{matrix}f_1(x_1,x_2)-f_1(x^{(i)}_1,x^{(i)}_2)\\ f_2(x_1,x_2)-f_1(x^{(i)}_1,x^{(i)}_2)\end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix}\frac{∂f_1}{∂x_1} \frac{∂f_1}{∂x_2}\\\frac{∂f_2}{∂x_1} \frac{∂f_2}{∂x_2} \end{matrix}\right| \left|\begin{matrix}\Delta x_1\\ \Delta x_2\end{matrix}\right|\]

자코비안(Jacobian) 행렬은 원래의 함수를 변수로 편미분한 행렬을 말한다.

\[ [J]=\left|\begin{matrix}\frac{∂f_1}{∂x_1} \frac{∂f_1}{∂x_2} \\ \frac{∂f_2}{∂x_1} \frac{∂f_2}{∂x_2}\end{matrix}\right| \]

Newton-Raphson법의 전력조류 계산에 적용

○ 2모선 모델계통(슬랙모선, 부하모선)

부하모선(2)의 설정된 운전조건은 P2=-1.0[pu],Q2=-1.0[pi]일 때, 미지값인 δ2,E2를 계산한다.

\[\left|\begin{matrix}I_1 \\I_2 \end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix}Y_{11}Y_{12} \\Y_{21}Y_{22} \end{matrix}\right| \left|\begin{matrix}E_1\\E_2 \end{matrix}\right| \]
\[Y_{BUS}=\left|\begin{matrix}6.272\angle-75.683° \ \ \ \ 6.4105\angle104° \\6.4105\angle 104° \ \ \ \ 6.272\angle-75.683° \end{matrix}\right|\]

○ 2모선 전력방정식

\[S_2=P_2+jQ_2=E_2I^*_2=E_2(Y_{21}E_1+Y_{22}E_2)^*\] \[P_2=E_2[Y_{21}E_1\cos(\delta_2-\delta_1-\gamma_{21})+Y_{22}E_2\cos(\delta_2-\delta_2-\gamma_{22})]\cdot\cdot\cdot(1)\] \[Q_2=E_2[Y_{21}E_1\sin(\delta_2-\delta_1-\gamma_{21})+Y_{22}E_2\sin(\delta_2-\delta_2-\gamma_{22})]\cdot\cdot\cdot(2)\]

기지량(E1=1.0∠0°(슬랙모선) 및 YBUS 요소를 (1), (2)식에 대입

\[P_2=6.4105 E_2\cos(\delta_2-104°)+1.551E^2_2\cdot\cdot\cdot(3)\] \[Q_2=6.4105 E_2\sin(\delta_2-104°)+6.0772E^2_2\cdot\cdot\cdot(4)\]

○ Newton-Raphson법 적용

\[ \left|\begin{matrix} P_2-P^{(i)}_2 \\ Q_2-Q^{(i)}_2 \end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix} \frac{∂P_2}{∂\delta_2} \frac{∂P_2}{∂E_2} \\ \frac{∂Q_2}{∂\delta_2}\frac{∂Q_2}{∂E_2} \end{matrix}\right| \left|\begin{matrix} \Delta \delta^{(i)}_2 \\ \Delta \delta^{(i)}_2 \end{matrix}\right| \]

○ 자코비안 행렬요소

\[\frac{∂P_2}{∂\delta_2}=-6.4105E_2\sin(\delta_2-104°)\] \[\frac{∂Q_2}{∂\delta_2}=6.4105E_2\cos(\delta_2-104°)\] \[\frac{∂P_2}{∂E_2}=6.4105\cos(\delta_2-104°)+3.102E_2\] \[\frac{∂Q_2}{∂E_2}=6.4105\sin(\delta_2-104°)+12.1544E_2\]

○ 초기조건 δ(0)2=0, E(0)2=1.0을 (3), (4)식에 대입하여 초기치(P(0)2, Q(0)2)을 구하고, 자코비안 행렬요소에 대입하여 초기치[J](0)를 계산한다.

\[P^{(0)}_2=6.4105\cos(0-104°)+1.551=0.00016\] \[Q^{(0)}_2=6.4105\sin(0-104°)+6.0772=-0.1429\]

\[(\frac{∂P_2}{∂\delta_2})^{(0)}=-6.4105E_2\sin(\delta_2-104°)=6.2201\] \[(\frac{∂Q_2}{∂\delta_2})^{(0)}=6.4105E_2\cos(\delta_2-104°)=-1.5512\] \[(\frac{∂P_2}{∂E_2})^{(0)}=6.4105\cos(\delta_2-104°)+3.102E_2=1.5512\] \[(\frac{∂Q_2}{∂E_2})^{(0)}=6.4105\sin(\delta_2-104°)+12.1544E_2=5.9343\]
\[ [J]^{(0)}=\left|\begin{matrix}6.2201\ \ \ \ 1.5512 \\ -1.5512\ \ \ \ 5.9343\end{matrix}\right| \]

○ 자코비안 행렬을 역행렬로 취한 다음 수정값(Δδ(0)2, ΔE(0)2)을 얻는다.

\[\left|\begin{matrix}\Delta\delta^{(i)}_2\\\Delta E^{(i)}_2 \end{matrix}\right| =[J]^{-1}\left|\begin{matrix}P_2-P^{(i)}_2\\Q_2-Q^{(i)}_2 \end{matrix}\right| \]
\[\left|\begin{matrix}\Delta\delta^{(0)}_2\\\Delta E^{(0)}_2 \end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix}0.1509\ \ \ -0.0395\\0.0395\ \ \ \ 0.1582 \end{matrix}\right| \left|\begin{matrix}-1.0-P^{(0)}_2\\-1.0-Q^{(0)}_2 \end{matrix}\right| \]
\[\left|\begin{matrix}\Delta\delta^{(0)}_2\\\Delta E^{(0)}_2 \end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix}0.1509\ \ \ \ -0.0395\\0.0395\ \ \ \ 0.1582 \end{matrix}\right| \left|\begin{matrix}-1.0002\\-0.8571\end{matrix}\right| \] \[=\left|\begin{matrix}-6.704\\-0.175\end{matrix}\right|\]

▷▶ 첫번째 반복

\[\delta^{(1)}_2=\delta^{(0)}_2+\Delta\delta^{(0)}_2=0+(-6.704)=-6.704°\] \[E^{(1)}_2=E^{(0)}_2+\Delta E^{(0)}_2=1.0+(-0.175)=0.825[pu]\]
\[수정된 결과를 대입하여 (P^{(1)}_2,Q^{(1)}_2),[J]^{(1)}을 구한다.\]
\[P^{(1)}_2=-0.8141\] \[Q^{(1)}_2=-0.9108\] \[[J]^{(1)}=\left|\begin{matrix}4.9471\ \ \ 0.2928\\-2.2663\ \ \ 4.0309\end{matrix}\right|\]

역행렬을 취하여 수정값(Δδ2, ΔE2)을 얻는다.

\[\left|\begin{matrix}\Delta\delta^{(1)}_2\\\Delta E^{(1)}_2\end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix}0.1956\ \ \ -0.0142\\0.1099\ \ \ 0.2401\end{matrix}\right| \left|\begin{matrix}-1.0-P^{(1)}_2\\-1.0-Q^{(1)}_2\end{matrix}\right|\]
\[\left|\begin{matrix}\Delta\delta^{(1)}_2\\\Delta E^{(1)}_2\end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix}0.1956\ \ \ -0.0142\\0.1099\ \ \ 0.2401\end{matrix}\right| \left|\begin{matrix}-0.1859\\-0.1892\end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix}-1.9309\\-0.0659\end{matrix}\right|\]

▷▶ 두번째 반복

\[\delta^{(3)}_2=\delta^{(2)}_2+\Delta\delta^{(2)}_2=-8.6345°\] \[E^{(3)}_2=E^{(2)}_2+\Delta E^{(2)}_2=0.7591[pu]\]
\[P^{(2)}_2=-0.9790\] \[Q^{(2)}_2=-0.9895\] \[[J]^{(2)}=\left|\begin{matrix}4.4914\ \ \ 0.0077\\-2.4671\ \ \ 3.3097\end{matrix}\right|\]
\[\left|\begin{matrix}\Delta\delta^{(2)}_2\\\Delta E^{(2)}_2\end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix}0.2269\ \ \ -0.0077\\0.1691\ \ \ 0.3079\end{matrix}\right| \left|\begin{matrix}-0.0021\\-0.0105\end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix}-0.0319\\-0.00359\end{matrix}\right|\]

▷▶ 세번째 반복

\[\delta^{(3)}_2=\delta^{(2)}_2+\Delta\delta^{(2)}_2=-10.565°\] \[E^{(3)}_2=E^{(2)}_2+\Delta E^{(2)}_2=0.6932[pu]\]
\[P^{(3)}_2=-1.1021\] \[Q^{(3)}_2=-1.1213\] \[ [J]^{(3)}=\left|\begin{matrix}4.0415\ \ \ -0.5147\\-2.6650\ \ \ 2.5952\end{matrix}\right|\]
\[\left|\begin{matrix}\Delta\delta^{(3)}_2\\\Delta E^{(3)}_2\end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix}0.2847\ \ \ -0.0565\\0.2923\ \ \ 0.4433\end{matrix}\right| \left|\begin{matrix}0.1021\\0.1213\end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix}1.2772\\0.0836\end{matrix}\right|\]

▷▶ 네번째 반복

\[\delta^{(4)}_2=\delta^{(3)}_2+\Delta\delta^{(3)}_2=-9.2878°\] \[E^{(4)}_2=E^{(3)}_2+\Delta E^{(3)}_2=0.7768[pu]\]
\[P^{(4)}_2=-1.0328\] \[Q^{(4)}_2=-0.9069\] \[ [J]^{(4)}=\left|\begin{matrix}4.5740\ \ \ -0.1248\\-2.5344\ \ \ 3.5533\end{matrix}\right|\]
\[\left|\begin{matrix}\Delta\delta^{(4)}_2\\\Delta E^{(4)}_2\end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix}0.2847\ \ \ -0.0565\\0.2923\ \ \ 0.4433\end{matrix}\right| \left|\begin{matrix}0.0328\\-0.0931\end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix}0.3772\\-0.0215\end{matrix}\right|\]

▷▶ 다섯번째 반복

\[\delta^{(5)}_2=\delta^{(4)}_2+\Delta\delta^{(4)}_2=-8.9106°\] \[E^{(5)}_2=E^{(4)}_2+\Delta E^{(4)}_2=0.7553[pu]\]
\[P^{(5)}_2=-1.001\] \[Q^{(5)}_2=-0.993\]

위와 같은 과정을 반복하며 ΔP2, ΔQ2 가 0에 가까워지면, 즉 원래 모선 2에 설정된 운전값 P2=-1.0, Q2=-1.0와 비교하여 거의 일치치되면 δ2, E3는 해에 근접하게 되므로 반복을 멈추고 해로 취한다.
그러므로 2모선 전압은

\[\dot{E}_2=0.7553\angle-8.9106°[pu]\]

가 된다.
한편, 모선 2의

\[\dot{E}_2=0.7553\angle-8.9106°[pu]\]

를 이용하여 슬랙모선인 1모선에서 P1, Q1을 구하면 다음과 같다.

\[\left|\begin{matrix}I_1 \\I_2 \end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix}Y_{11}Y_{12} \\Y_{21}Y_{22} \end{matrix}\right| \left|\begin{matrix}E_1\\E_2 \end{matrix}\right| \]
\[Y_{BUS}=\left|\begin{matrix}6.272\angle-75.683° \ \ \ \ 6.4105\angle104° \\6.4105\angle 104° \ \ \ \ 6.272\angle-75.683° \end{matrix}\right|\]
\[S_2=P_2+jQ_2=E_2I^*_2=E_2(Y_{21}E_1+Y_{22}E_2)^*\] \[=1.0\times [6.272\angle 75.683° +(6.4105\angle -104° \times 0.7553\angle 8.9106°)])\] \[=1.1215+j1.2544[pu]\]

그러므로 송전손실은

\[P_{loss}=1.1215-1.0=0.1215[pu]\]
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